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第17章无理数和根号数

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埃斯皮诺萨在纸上写下π,又写了一个m的n次方根。然后对着两人说:我们都知道它们都是无理数,那么π是根号数吗?作为数学中的两大概念,它们可以统一吗?

艾丽西亚说:这个问题有点大。首先我说我的结论,它是根号数。我们都知道对于数学家总是把时间花在方程和函数以及几何里,对于根号数缺乏足够的研究。现在我们连二次根号中最简单的√2都不了解,更别说高次根号了。虽然我对根号数的了解只有知道根号数很复杂这这一点外,就没有别的了。不过,我的直觉告诉我π一定是高次根号数。无理数的本质是进制,只有彻底研究进制的规律才能真正触及它的本质。

我以前算过0.33的循环换成九进制是0.33,说明它是因为进制导致的。受此启发,无理数应该也是进制导致的。只不过现在没有办法把π换成九进制,所以没有证据。如果π可以变成根号数或许会简单一点。

我们知道圆的面积是πr2,而π是无理数。那么,我们是否可以换种方式计算面积呢?如果引入根号,情况或许就会不同。圆的面积之所以难以计算是因为连续性,还有就是极点。要想想清楚这个问题,就必须回到最初的概念上。正方形的面积是边长乘以边长。怎么理解呢?就是把一条边看成是直线,而正方形的面积就相当于边长长度条直线。可是,这条直线是数学中的直线吗?如果它是,就没有宽度。那么,就算有边长长度条直线,那么这些直线的宽度依然是零啊?然而,正方形的面积的确就是如此啊?那么,这条直线就不是数学中的直线。问题是正方形不就属于数学吗,为什么如此呢?我们就当作它是成立的。那么,圆的面积是不是可以按照相同的方法来求解呢?

如果按照正方形的面积求解的话,圆的面积就是0×2r=0。很明显,这是错误的。

我们再来看正方形的面积。如果假设它可以拆分成很多个长方形,然后再变成无数条直线。把这些直线从两个方面看成是整体,于是正方形的面积就是如此。但是,我转念一想,这会不会是人的想当然。人类到底是如何知道它的面积公式的?

艾丽西亚在沉思,而小尼却说道:这是数学的基础。就算你想很久,恐怕也没有正确的答案。其实,你猜的不错,就是想当然耳。不过也有一定根据,就是连续性和对称。你也许会说圆也是对称的,为什么圆的面积就不能计算出来?对此,我也无法解答。

我说一句题外话。根号数或者无理数完全是一个独立的数系中的数,也就是说无理数和有理数是完全分开的。

埃斯皮诺萨,今天就到这里吧!这个话题实在太大了,我感觉有些受不了。

埃斯皮诺萨看了两人,觉得的确有些难。所以,也就没有再说什么。

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